公司开除员工的记录通常会被保留在公司的内部档案中，并且可能会在员工的背景调查中被查询到。一些专门从事背调服务的公司可能会通过调查公司的人力资源部门或直接联系前雇主来获取相关信息。
因此，被公司开除的记录有可能会被背调公司查到，尤其是在需要进行严格背景调查的情况下。建议员工在求职前如实告知公司离职原因，以避免可能的尴尬和不利影响。
可以要求公司人事部门补发书面的辞退通知书。如果是劳动合同期满，公司不再续签合同，这种辞退是符合劳动合同法的，也是没有经济补偿的，如果是在合同期内遭辞退，那就可以维护自己的权益，要求经济赔偿。
也可持书面的辞退通知书作为证据，向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
当然，如果公司坚持不补书面通知书，你也可以请人事部门复述口头辞退通知，你录音后也可作为证据的。
如果你被公司开除且赔偿协商不合适，想要更快地拿到赔偿，以下是一些可能有帮助的建议：
详细了解自己的权益：在协商之前，你需要了解自己在劳动法下的权益，包括被开除的原因、应得的赔偿等。这样你才能更有底气地与公司进行协商，也能更快地找到问题的关键所在。
准备充分的证据：在协商过程中，你需要提供足够的证据来支持自己的主张。这可能包括工作合同、工资单、解雇通知书、工作表现评估等文件。这些证据可以帮助你证明自己的权益，从而加速赔偿的进程。
寻求专业帮助：如果你不熟悉劳动法或协商技巧，可以寻求专业律师或咨询机构的帮助。他们可以帮助你评估自己的权益，提供合适的建议，并代表你与公司进行协商。
提交劳动仲裁或诉讼：如果协商无法达成一致，你可以考虑向劳动仲裁机构或法院提起诉讼。在这个过程中，你需要准备好相关证据和材料，并按照规定的程序进行操作。虽然这个过程可能需要更长的时间，但如果你有足够的证据支持自己的主张，最终可能会获得更合理的赔偿。
总之，要更快地拿到赔偿，你需要充分了解自己的权益，准备充分的证据，寻求专业帮助，并在必要时采取法律手段。同时，保持冷静和理性，避免情绪化的行为，也有助于你更快地解决问题。